有限元分析及应用学习笔记


有限元分析及应用学习笔记

到底什么是有限元,有限元到底有什么用

有限元分析讲的其实上不全是有限元分析,前面用了很大的篇幅讲述了材料力学的内容,而有限元只是处理相关问题的一个方法,即化大为小,将复杂的东西进行标准的、参数化的几何划分,来进行单元研究,最后进行集合组装得到我们整体物体的性质分析。

有限元分析通过针对复杂几何域进行分片,然后对于对象的材料,我们一般简化材料的行为,对于变形体材料有以下基本假设:

  • 连续性:无空隙,可以采用连续函数描述
  • 均匀性:物质的特征不随位置变化
  • 各向同性:物质特征与方向性无关
  • 线性弹性:变形与外力作用的关系是线性的,使得描述材料性质的方程是线性的
  • 小变形:变形远小于物体的几何尺寸,可以忽略二阶及以上的高阶小量

基本名词释义

常见研究单元

  • 杆:杆只能承受轴向的拉压力,只有一个方向的受力以及变形;
  • 平面纯弯梁:只有弯曲形变,不受轴向伸缩形变的梁,一般来说会考虑弯曲的转角以及挠度;
  • 一般梁:包含杆单元和平面纯弯梁的特性,会考虑转角、挠度和轴向变化
  • 平面三角形、矩形等平面单元及四面体、正六面体单元等空间单元

常见物理量及符号

  • 位移(挠度) $u$
  • 应力:$\sigma_{xx}=\frac{F}{A}$ 表示x方向的正应力($A$表示横截面积);$\tau_{xy}$表示力的作用面的法向量方向是y坐标轴方向,力的方向为x坐标轴方向的剪应力(剪力)
  • 应变:正应变$\epsilon_{xx}=\frac{u}{L}$,剪应变$\gamma_{xy}=\alpha+\beta=\frac{\partial{u}}{\partial{y}}+\frac{\partial{v}}{\partial{x}}$
  • 弹性模量:$E=\frac{\sigma}{\epsilon}$
  • 载荷:节点承载的负荷(力)
  • 支反力:在被固定的点,用于维持点被固定住所施加的外力
  • 刚度$K$,满足$Kq=F$($q$为每个节点位移的列向量,$F$为每个节点力的列向量)
  • 泊松比$\mu$:材料在单向受拉或受压时,横向正应变$\epsilon_{y}$与轴向正应变$\epsilon_x$的绝对值的比值的相反数$\mu=-\frac{\epsilon_y}{\epsilon_x}$
  • 均布力$\overline{P}$:在外表面上均匀分布的外力
  • 算子$L$:拉普拉斯算子,对位移求二阶导
  • 残差函数$\Re$、形状函数矩阵$N$、几何矩阵$B$、应力矩阵$S$

三大类变量三大类方程

  • 三大类变量:位移、应力、应变。其中应力与应变可以由位移表示。
  • 三大类方程:平衡方程、几何方程、物理方程
  • 其实我们在用的时候,也会用到两类边界条件:位移边界、力边界

处理数据的方法

微分方程求解的方法

  • 解析法:对于简单的微分方程常用,但是对于比较复杂的方程难以适用。
  • 差分法:对整体进行分段,用差商来代替微分,对每段列差分方程,得到线性方程组,就可以得到解在每段的近似值
  • 试函数方法:设置一个带着参数,且满足边界条件的试函数($R(x)$),通过让残差函数在试函数的限定区域内的累计最小($\int_{area} \phi(x)R(x)dx=0$),解得试函数的参数。
    • 试函数的精度取决于试函数设置的形式,如果这个形式包括解析解,则可以求出解析解;但是如果不包括,只能在试函数设置形式这个范围内,获得一个最优解。
    • 试函数不一定非要是在全域上讨论,可以对全域进行分段,每一段用不同的试函数。但是这样的坏处在于这样的一系列试函数在高阶导数上不连续(在后面我们要至少保证二阶导数连续)

坐标变换的方法

$T^e$是坐标变换矩阵,以平面的杆单元(坐标位移$\begin{bmatrix} \overline{u}_1 & \overline{v}_1 & \overline{u}_2 & \overline{v}_2\end{bmatrix}$)为例,$T^e=$$$\begin{bmatrix} \cos{\alpha} & \sin{\alpha} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos{\alpha} & \sin{\alpha}\end{bmatrix}$$,我们对位移进行坐标变换$q^e=T^e\cdot q^e$,并带入原刚度方程$K^eq^e=F^e$,并在等式两边同时左乘$T^{Et}$,得到方程$T^{eT}K^e(T^eq^e)=T^{eT}F^e$,并简记为$\overline{K}^e\cdot \overline{q}^e = \overline{F}^e$。此时的新刚度矩阵的大小对应着新坐标系位移的个数,即为$4\times4$。

指标记法

  • 自由指标:在每一项(加减号中间的那部分)中只出现一次的下标叫做自由指标,可以自由变化。
  • 哑指标:意味着求和(爱因斯坦求和约定)

$$a_{ij}x_j=b_i \Leftrightarrow \sum_{j=1}^3 a_{ij}x_j=b_i \Leftrightarrow \begin{cases}{}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2 \\
a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3
\end{cases} $$

Voigt标记

将高阶自有指标的张量写成低阶张量形式的过程叫做Voigt标记,规则叫做Voigt规则(这个规则好神奇百度谷歌都查不到)。

用途:优化存储,减少对称矩阵的对称部分,降低矩阵大小

方法简述:从$a_{11}$开始,先沿着矩阵对角线向右下方移动,走到$a_{nn}$后,按逆时针顺序向上写(再向上,走到头再向左,再右下循环)。

方法举例:$\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{bmatrix}$,可以得到一维Voigt矩阵$\sigma_p=\begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}$

试函数法求解变形体力学方程

讲到的试函数法有加权残值法、虚功原理法、最小势能原理法、变分方法。

我们要设置满足边界条件的解,带入原控制方程,处理误差求得待定系数。

试函数法的要点

将一组满足所有边界条件试函数(基底函数)$\phi_i(x)$的线性组合$$\hat{v}(x)=c_1\phi_1(x)+c_2\phi_2(x)+\cdots+c_n\phi_n(x)$$($c_i$为待定系数)代回边界条件$\begin{cases}{}BC(u):g_u(\hat{v}(x)=0\quad on\ S_u \\ BC(p):g_p(\hat{v}(x))=0\quad on\ S_p\end{cases}$,并通过指标处理残值函数$\Re(x)=L(\hat{v}(x))+\overline{b}\neq0$。

Galerkin加权残值法

Galerkin加权残值法将试函数取的基底函数作为权重,对残值函数$\Re(x,y,z)$进行加权(几个参数用几个基底函数,每次加权用一个,然后把n个积分=0联立起来),在整个域中积分。

$$\int_\Omega w_{t_i}\Re(\mathrm{x,y,z})\mathrm{d}\Omega=0,\quad w_{t_i}=\phi_i$$

残值最小二乘法

残值最小二乘法调整待定系数使得残值平方和积分最小(一般此时积分许多参数都与积分微元无关,所以类似于幂函数的积分)。我们求得$E_{rr}$后,分别对n个参数求偏导$\frac{\partial{E_{rr}}}{\partial{c_i}}=0,\quad i=1,2\cdots N$来求得参数。

$$\underset{c_1,c_2,\cdots,c_n}{min}\left[E_n=\int_\Omega w_t\Re^2(\mathrm{x,y,z})\mathrm{d}\Omega\right], w_t=1$$

配点法

相当于简单强迫余量在域内的N个点上为0(一般n个参数取n个点),准不准的就看造化了。

$$\int\Re(x_i,y_i,z_i)\mathrm{d}\Omega=0\quad i=1,2\cdots N$$

降低试函数高阶导数及边界条件要求

将应力应变均用位移表达后,可以得到基于位移的控制方程(平衡方程)

$$\begin{cases}{}
\frac{E}{1-\mu^2}\left(\frac{\partial^2{u}}{\partial{x^2}}+\frac{1-\mu}{2}\frac{\partial^2{u}}{\partial{y^2}}+\frac{1+\mu}{2}\frac{\partial^2{v}}{\partial{x}\partial{v}}\right)+\overline{b}_x=0\\
\frac{E}{1-\mu^2}\left(\frac{\partial^2{v}}{\partial{y^2}}+\frac{1-\mu}{2}\frac{\partial^2{v}}{\partial{x^2}}+\frac{1+\mu}{2}\frac{\partial^2{u}}{\partial{x}\partial{v}}\right)+\overline{b}_y=0
\end{cases}$$

以及基于位移的力边界

$$\begin{cases}{}
\frac{E}{1-\mu^2}\left[n_x(\frac{\partial{u}}{\partial{x}}+\mu\frac{\partial{v}}{\partial{y}}+n_y(\frac{1-\mu}{2})(\frac{\partial{u}}{\partial{y}}+\frac{\partial{v}}{\partial{x}})\right]=\overline{p}_x\\
\frac{E}{1-\mu^2}\left[n_y(\frac{\partial{v}}{\partial{y}}+\mu\frac{\partial{u}}{\partial{x}}+n_x(\frac{1-\mu}{2})(\frac{\partial{v}}{\partial{x}}+\frac{\partial{vu}}{\partial{y}})\right]=\overline{p}_y
\end{cases}$$

知对导数要求可以降低到一半。

虚功原理与最小势能原理

虚功原理:$\delta U=\delta W$,即$\int_\Omega \sigma_{ij}\cdot\delta\epsilon_{ij}\cdot \mathrm{d}\Omega=\int_\Omega\overline{b}_i\delta u_i\mathrm{d}\Omega+\int_{S_p}\overline{p}_i\delta u_i\mathrm{d}A$,其中虚位移$\delta c_i$具有任意性,不恒为零,与其相乘为0则另一个恒为零。

最小势能原理:总势能$\prod(\hat{v}(x))=U-W=\frac{1}{2}\int_{\Omega}\sigma_x\epsilon_x\mathrm{d}\Omega-\left(\int_\Omega\overline{b}_i\delta u_i\mathrm{d}\Omega+\int_{S_p}\overline{p}_i\delta u_i\mathrm{d}A\right)$,然后分别对参数求导=0,可以解得参数$c_i$。

虚功原理与最小势能原理等价,都需要全域的试函数$BC(u)$和低阶导数要求。最小势能原理与加权残值法在经过分部积分处理后是等价的。

有限元方法

  • 几何域的离散化:将复杂的几何域切分为参数化、标准化、规范化的单元,方便对这些单元一一研究。
  • 单元研究:通过每个单元的能量原理、虚功原理、最小势能原理等研究单元,得到$K^eq^e=P^e$
  • 单元的集成装配:部分坐标系与整体坐标系的转换,尤其是旋转的变换。
  • 处理位移边界条件:讲力$P$拆为已知的外力$\overline{P}_F$和未知的支反力$P_R$,将位移拆为未知的节点位移$q_u$和已知的节点位移$\overline{q}_k$,可以得到矩阵等式$\begin{bmatrix}K_1 & K_2 \\K_3 & K_4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}q_u\\ \overline{q}_k \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\overline{P}_F \\ P_R\end{bmatrix}$
  • 计算支反力等物理量:通过上一步,的方程$\begin{cases}K_1q_u+K_2\overline{q}_k=\overline{P}_F\\ K_3q_u+K_4\overline{q}_k=P_R\end{cases}$,求未知节点位移$q_u=K_1^{-1}(\overline{P}_F-K_2\overline{q}_k)$,与支反力$P_R=K_3q_u+K_4\overline{q}_k=K_3K_1^{-1}(\overline{P}_F-K_2\overline{q}_k)+K_4\overline{q}_k$,通过几何方程物理方程可以求得其他物理量。

重要的定理公式

  • 剪应力互等定理$\tau_{xy}=\tau_{yx}$,由力矩平衡导出
  • 平面问题平衡方程 $\sigma_{ij,j}+\overline{b}_i=0 \Leftrightarrow \begin{cases}{} \frac{\partial{\sigma_{xx}}}{\partial{x}}+ \frac{\partial{\sigma_{xy}}}{\partial{y}}+\overline{b}_x=0 \\ \frac{\partial{\sigma_{yy}}}{\partial{y}}+ \frac{\partial{\sigma_{xy}}}{\partial{x}}+\overline{b}_y=0 \end{cases}$,其中指标形式的逗号表示对逗号后面的指标值求偏导
  • 平面问题几何方程:相对伸长量(应变)$\epsilon_{xx}=\frac{\partial{u}}{\partial{x}}$、$\epsilon_{yy}=\frac{\partial{v}}{\partial{y}}$,剪应变$\gamma_{xy}=\frac{\partial{u}}{\partial{y}}+\frac{\partial{v}}{\partial{x}}$。
    • 使用中常记为$\epsilon_{ij}=\frac{1}{2}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)$,逗号表示同上,而且在$i\neq j$时,$\epsilon_{ij} = \frac{1}{2}\gamma_{ij}$(据弹幕说这是爱因斯坦的记法,这个奇怪的记法就这么流传下来了)
    • 位移分量$u,v$可以唯一确定三个应变分量$\epsilon_{xx},\epsilon_{yy},\gamma_{xy}$,但是应变不能唯一确定位移分量,需要满足变形协调条件$\frac{\partial^2{\epsilon_{xx}}}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^2{\epsilon_{yy}}}{\partial{x^2}}=\frac{\partial^2{\gamma_{xy}}}{\partial{x}\partial{y}}$。其代表着材料变形的时候不撕裂、不重叠。
  • 平面问题物理方程:根据泊松效应,一个方向的正应变不仅与该方向的应力有关,还受到其他方向应力的影响。
    • 方程表述$\begin{cases}{}
      \epsilon_{xx}=\frac{1}{E}\left(\sigma_{xx}-\mu\sigma_{yy}\right) \\
      \epsilon_{yy}=\frac{1}{E}\left(\sigma_{yy}-\mu\sigma_{xx}\right) \\
      \gamma_{xy}=\frac{1}{G}\tau_{xy}
      \end{cases}$,其中$G = \frac{E}{2\left(1+\mu\right)}$。
    • 也常用其逆形式$\begin{cases}{}
      \sigma_{xx}=\frac{E}{1-\mu^2}\left(\epsilon_{xx}+\mu\epsilon_{yy}
      \right) \\
      \sigma_{yy}=\frac{E}{1-\mu^2}\left(\epsilon_{yy}+\mu\epsilon_{xx}
      \right) \\ \tau_{xy}=G\gamma_{xy}
      \end{cases}$。
    • 按照指标规则和Voigt规则,可以将指标降阶,得到物理方程的矩阵形式$\begin{bmatrix}\sigma_{xx} \\ \sigma_{yy} \\ \tau_{xy}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
      \frac{E}{1-\mu^2} & \frac{E\mu}{1-\mu^2} & 0 \\
      \frac{E\mu}{1-\mu^2} & \frac{E}{1-\mu^2} & 0 \\
      0 & 0 & G \
      \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \epsilon_{xx} \\ \epsilon_{yy} \\ \gamma_{xy}\end{bmatrix}$
  • 位移边界$S_u$:$u_i = \overline{u}_i \quad on\ S_u$($\overline{u}_i$表示给定的位移约束)
  • 力边界$S_p$:$\sigma_{ij}n_{j}=\overline{p}_i \quad on\ S_p$($n_j$表示边界一点上外发现的方向余弦,$\overline{p}_i$表示给定的分布力)
  • 刚度方程:$K^eq^e=F^e$
  • 分布力的处理:
    • 长度$L$梁单元
      • 中点受到力$P$:$R_A=R_B=-\frac{P}{2}$,$M_A=-\frac{PL}{8}$;
      • 在距左长度$a$处(距右长度$b=L-a$处)受到力$P$:$R_A=-\frac{Pb^2}{L}\cdot (3a+b)$,$R_B=-\frac{Pa^2}{L}\cdot (a+3b)$,$M_A=-\frac{Pab^2}{L^2}$,$M_B=-\frac{Pa^2b}{L^2}$;
      • 均布载荷$P_0$:$R_A=R_B=-\frac{p_0L}{2}$,$M_A=-\frac{p_0L^2}{12}$,$M_B=\frac{p_0L^2}{12}$;
      • 受到直角三角形($P_A$最小,$P_B$最大)载荷$P_0$:$R_A=-\frac{3p_0L}{20}$,$R_B=-\frac{7p_0L}{20}$,$M_A=-\frac{p_0L^2}{30}$,$M_B=\frac{p_0L^2}{20}$;
      • 在距左长度为a的部分受到均布载荷$P_0$:$R_A=-\frac{p_0a}{2L^3}\cdot(a^3-2a^2L+2L^3)$,$R_B=-\frac{p_0a^3}{2L^3}\cdot (2L-a)$,$M_A=-\frac{p_0a^2}{12L^2}\cdot (3a^2-8aL+6L^2)$,$M_B=\frac{p_0a^3}{12L^2}\cdot (4L-3a)$;
      • 受到等腰三角形均布载荷$P_0$:$R_A=R_B=-\frac{p_0L}{4}$,$M_A=-\frac{5p_0L^2}{96}$,$M_B=\frac{5p_0L^2}{96}$;
      • 在距左长度$a$处(距右长度$b=L-a$处)受到弯矩$M_0$:$R_A=-\frac{6M_0ab}{L^3}$,$R_B=\frac{6M_0ab}{L^3}$,$M_A=-\frac{M_0b}{L^2}(3a-L)$,$M_B=-\frac{M_0a}{L^2}(3b-L)$。
    • 平面3节点三角形单元
      • 单元自重:三个节点竖直方向平摊,水平方向无荷载;
      • 三角形一条边均布侧压(垂直于边):在12节点垂直收到均布载荷$p_0$,1、2号节点受水平方向载荷$\frac{1}{2}p_0t(y_1-y_2)$,竖直方向载荷$\frac{1}{2}p_0t(x_2-x_1)$;
      • 三角形一条边x方向均布侧压:边的两端点x方向均摊;
      • 三角形一条边x方向三角形侧压:受力大的那边占$\frac{2}{3}$,受力小的那边$\frac{1}{4}$。

一些经常讨论的情况

平面应力问题

条件

一块很薄的等厚度板(厚度为z轴方向)

结果

  • $\sigma_{zz}=0, \tau_{xz}=0, \tau_{yz}=0, \gamma_{xz}=0, \gamma_{yz}=0$

  • 由物理方程知$\epsilon_{zz}=-\frac{\mu}{E}\left(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}\right)\neq0$,但$\sigma_{zz}=0$

平面应变问题

条件

一个无限长的等截面柱体(无限长的是z轴方向)

结果

  • z轴方向的位移$w(x,y,z)$应变$\epsilon_{zz}$均为0,与z相关的应变$\gamma_{xz},\gamma_{yz}$也为0
  • 同样z方向的应力$\sigma_{zz}$,与z相关的应力$\tau_{yz}, \tau_{xz}$也为0
  • 有物理方程知$\sigma_{zz}=\mu\left(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}\right) \neq 0$,但$\epsilon_{zz}=0$(与平面应力相反)

比较

种类 平面应力问题 平面应变问题
应力 $\sigma_{xx}(x,y,z)$
$\sigma_{yy}(x,y,z)$
$\sigma_{zz}(x,y,z)$ $0$ $\mu(\sigma_{xx}+\sigma_{yy})$
$\tau_{xy}(x,y,z)$
$\tau_{xz}(x,y,z)$ $0$
$\tau_{yz}(x,y,z)$ $0$
应变 $\epsilon_{xx}(x,y,z)$ $\frac{1}{E}\left(\sigma_{xx}-\mu\sigma_{yy}\right)$ $\frac{1-\mu^2}{E}\left[\sigma_{xx}-\left(\frac{\mu}{1-\mu}\right)\sigma_{yy}\right]$
$\epsilon_{yy}(x,y,z)$ $\frac{1}{E}\left(\sigma_{yy}-\mu\sigma_{xx}\right)$ $\frac{1-\mu^2}{E}\left[\sigma_{yy}-\left(\frac{\mu}{1-\mu}\right)\sigma_{xx}\right]$
$\epsilon_{zz}(x,y,z)$ $-\frac{\mu}{E}\left(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}\right)$ $0$
$\gamma_{xy}(x,y,z)$ $\frac{1}{G}\tau_{xy}$
$\gamma_{xz}(x,y,z)$ $0$
$\gamma_{yz}(x,y,z)$ $0$
\begin{table}[]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\multicolumn{2}{|c|}{种类}                     & 平面应力问题                                               & 平面应变问题                                                                                \\ \hline
\multirow{6}{*}{应力} & $\sigma_{xx}(x,y,z)$   &                                                      &                                                                                       \\ \cline{2-4} 
                    & $\sigma_{yy}(x,y,z)$   &                                                      &                                                                                       \\ \cline{2-4} 
                    & $\sigma_{zz}(x,y,z)$   & 0                                                    & $\mu(\sigma_{xx}+\sigma_{yy})$                                                        \\ \cline{2-4} 
                    & $\tau_{xy}(x,y,z)$     &                                                      &                                                                                       \\ \cline{2-4} 
                    & $\tau_{xz}(x,y,z)$     & \multicolumn{2}{c|}{0}                                                                                                                       \\ \cline{2-4} 
                    & $\tau_{yz}(x,y,z)$     & \multicolumn{2}{c|}{0}                                                                                                                       \\ \hline
\multirow{6}{*}{应变} & $\epsilon_{xx}(x,y,z)$ & $\frac{1}{E}\left(\sigma_{xx}-\mu\sigma_{yy}\right)$ & $\frac{1-\mu^2}{E}\left[\sigma_{xx}-\left(\frac{\mu}{1-\mu}\right)\sigma_{yy}\right]$ \\ \cline{2-4} 
                    & $\epsilon_{yy}(x,y,z)$ & $\frac{1}{E}\left(\sigma_{yy}-\mu\sigma_{xx}\right)$ & $\frac{1-\mu^2}{E}\left[\sigma_{yy}-\left(\frac{\mu}{1-\mu}\right)\sigma_{xx}\right]$ \\ \cline{2-4} 
                    & $\epsilon_{zz}(x,y,z)$ & $-\frac{\mu}{E}\left(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}\right)$ & 0                                                                                     \\ \cline{2-4} 
                    & $\gamma_{xy}(x,y,z)$   & \multicolumn{2}{c|}{$\frac{1}{G}\tau_{xy}$}                                                                                                  \\ \cline{2-4} 
                    & $\gamma_{xz}(x,y,z)$   & \multicolumn{2}{c|}{0}                                                                                                                       \\ \cline{2-4} 
                    & $\gamma_{yz}(x,y,z)$   & \multicolumn{2}{c|}{0}                                                                                                                       \\ \hline
\end{tabular}
\end{table}

平面刚体位移

条件

物体内不会产生任何应变,即$\epsilon_{xx}=\frac{\partial{u}}{\partial{x}}=0$,$\epsilon_{yy}=\frac{\partial{v}}{\partial{y}}=0$,$\gamma_{xy}=\frac{\partial{v}}{\partial{x}}+\frac{\partial{u}}{\partial{y}}=0$。

结果

$\begin{cases}{}u(x,y)=-\omega_0y+u_0\\v(x,y)=\omega_0x+v_0 \end{cases}$,其中$u_0,v_0,\omega_0$表征平面刚体位移常数,$u_0,v_0$为整个物体在x,y方向的刚体平移量,$\omega_0$为整个物体缸体转动的角度。

简单拉杆问题

变量与方程

  • 变量:位移$u(x)$,应力$\sigma_x(x)$,应变$\epsilon_x(x)$;
  • 方程:平衡方程$\frac{\mathrm{d}\sigma_x}{\mathrm{d}x}=0$;几何方程$\epsilon_x=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$;物理方程$\epsilon_x=\frac{\sigma_x}{E}$;
  • 边界方程:位移方程$BC(u)$:$u(x)|_{x=0}=0$;力边界$BC(p)$:$\sigma_x(x)|_{x=l}=\frac{P}{A}=\overline{p}_x$。

求解结果

应力$\sigma_x(x)=\frac{P}{A}$;应变$\epsilon_x(x)=\frac{P}{EA}$;位移$u(x)=\frac{P}{EA}x$

常见单元的自由度

  • 杆单元:$u_1,u_2$两个
  • 平面纯弯梁:$v_1,\theta_1,v_2,\theta_2$四个
  • 一般平面梁(杆+平面纯弯梁):$u_1,v_1,\theta_1,u_2,v_2,\theta_2$六个
  • 空间梁单元(三个方向弯曲):梁的扭转$\theta_{x1},\theta_{x2}$,沿轴向拉伸$u_1,u_2$,xOy平面弯曲$v_1,\theta_{z1},v_2,\theta_{z2}$,xOz平面弯曲$w_1,\theta_{y1},w_2,\theta_{y2}$共12个
  • 平面3节点三角形:三个节点每个方向分别的位移$u_1,v_1,u_2,v_2,u_3,v_3$6个
  • 平面4节点矩形单元:三个节点每个方向分别的位移$u_1,v_1,u_2,v_2,u_3,v_3,u_4,v_4$8个
  • 轴对称体元:$u_r,w$两个
  • 3节点三角形环形单元:$u_{r1},w_1,u_{r2},w_2,u_{r3},w_3$6个
  • 4节点矩形环形单元:$u_{r1},w_1,u_{r2},w_2,u_{r3},w_3,u_{r4},w_4$8个

放在最后

感谢彭昊学长对本人学习有限元分析的指导与帮助,希望大家也可以更高效的学会有限元分析。

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